Vamos supor que você está em um programa de televisão e o apresentador te diz para escolher um entre dois envelopes selados. Tanto o envelope A quanto o envelope B contém algum dinheiro, mas o apresentador não te diz quanto dinheiro há em cada um. A única coisa que ele te diz é que um envelope contém o dobro de dinheiro que o outro.
Você escolhe o envelope A, abre o envelope e descobre que dentro dele está R$ 100,00 (cem reais). O apresentador, então, te faz a seguinte oferta: você pode tanto ficar com os R$ 100,00 ou pode escolher trocar de envelope, escolhendo o envelope B.
Desta maneira, você pode fazer o seguinte raciocínio: - Uma vez que um dos envelopes contém o dobro de dinheiro que o outro, o envelope B pode conter tanto R$ 200,00 ou R$ 50,00, com a mesma probabilidade tanto para um quanto para o outro pagamento. Já que eu tenho mais a ganhar (+R$ 100,00) do que a perder (-R$ 50,00), eu devo fazer a troca.
Mas, no exato momento em que você decide comunicar ao apresentador que você deseja trocar de envelope, você é surpreendido por um pensamento perturbador: se você tivesse escolhido o envelope B - quer você tivesse ganho R$ 200,00 ou R$ 50,00 - você teria chegado exatamente a mesma conclusão. Assim sendo, se o argumento anterior é válido, você deve trocar de envelope independentemente da escolha inicial. Mas isso não pode estar certo, pode?
O que há de errado com o seu raciocínio?
Alguns matemáticos afirmam que neste caso o problema está em usar uma medida de probabilidade em um conjunto infinito (de números naturais). Mas os lógicos indicam que o paradoxo pode ser abordado sem o uso da probabilidade. Tal afirmação faz uso de duas proposições contraditórias:
Proposição 1. A quantidade que você irá ganhar, se você ganhar, é maior do que a quantidade que você irá perder, se você perder.
Proposição 2. As somas são iguais.
A prova da Proposição 1 é essencialmente aquela já explicitada no problema: - Que n seja a soma no envelope que você está segurando, então o outro envelope possui 2n ou n/2. Uma vez que n é maior do que n/2, então a soma que você irá ganhar, se você ganhar - que é n - é maior do que a soma que você irá perder, se você perder - que é n/2. Isso prova a Proposição 1.
Quanto a prova da Proposição 2: - Que seja d a diferença entre as somas nos dois envelopes, ou - o que é a mesma coisa, que seja d a soma do envelope de menor valor. Se você ganhar na troca, você irá ganhar d reais, se você perder na troca, você irá perder d reais. Desta forma as somas são idênticas no final. Isto prova a Proposição 2.
Você escolhe o envelope A, abre o envelope e descobre que dentro dele está R$ 100,00 (cem reais). O apresentador, então, te faz a seguinte oferta: você pode tanto ficar com os R$ 100,00 ou pode escolher trocar de envelope, escolhendo o envelope B.
Desta maneira, você pode fazer o seguinte raciocínio: - Uma vez que um dos envelopes contém o dobro de dinheiro que o outro, o envelope B pode conter tanto R$ 200,00 ou R$ 50,00, com a mesma probabilidade tanto para um quanto para o outro pagamento. Já que eu tenho mais a ganhar (+R$ 100,00) do que a perder (-R$ 50,00), eu devo fazer a troca.
Mas, no exato momento em que você decide comunicar ao apresentador que você deseja trocar de envelope, você é surpreendido por um pensamento perturbador: se você tivesse escolhido o envelope B - quer você tivesse ganho R$ 200,00 ou R$ 50,00 - você teria chegado exatamente a mesma conclusão. Assim sendo, se o argumento anterior é válido, você deve trocar de envelope independentemente da escolha inicial. Mas isso não pode estar certo, pode?
O que há de errado com o seu raciocínio?
Alguns matemáticos afirmam que neste caso o problema está em usar uma medida de probabilidade em um conjunto infinito (de números naturais). Mas os lógicos indicam que o paradoxo pode ser abordado sem o uso da probabilidade. Tal afirmação faz uso de duas proposições contraditórias:
Proposição 1. A quantidade que você irá ganhar, se você ganhar, é maior do que a quantidade que você irá perder, se você perder.
Proposição 2. As somas são iguais.
A prova da Proposição 1 é essencialmente aquela já explicitada no problema: - Que n seja a soma no envelope que você está segurando, então o outro envelope possui 2n ou n/2. Uma vez que n é maior do que n/2, então a soma que você irá ganhar, se você ganhar - que é n - é maior do que a soma que você irá perder, se você perder - que é n/2. Isso prova a Proposição 1.
Quanto a prova da Proposição 2: - Que seja d a diferença entre as somas nos dois envelopes, ou - o que é a mesma coisa, que seja d a soma do envelope de menor valor. Se você ganhar na troca, você irá ganhar d reais, se você perder na troca, você irá perder d reais. Desta forma as somas são idênticas no final. Isto prova a Proposição 2.
Porém eu vejo um problema com a Proposição 2 que, embora logicamente correta, não leva em conta o que é percebido pelo jogador no momento da segunda rodada.
Assim eu faria uma nova proposição:
Proposição 3. Enquanto não se sabe o valor de ambos os envelopes o valor da diferença entre perder e ganhar é a maior do que o valor que efetivamente se pode ganhar e o valor que se pode perder, por ser a soma de ambos os valores. Ainda assim, tal percepção influencia a decisão de continuar.
A prova para a minha proposição é a seguinte: Na primeira rodada do problema você joga com uma chance de 1/2 para ganhar n ou n/2, sendo que n será um número desconhecido. Na segunda rodada do problema, você joga com uma chance de 1/2 para ganhar 2n ou perder n/2, sendo que agora n é um número conhecido. Na primeira rodada você possui 0 (nada), e logo só poderá ganhar. Na segunda rodada você poderá tanto ganhar o dobro quanto perder metade daquilo que passou a possuir, com uma diferença virtual de 2(2n/3), ou R$ 150,00 caso você esteja segurando um envelope com R$ 100,00.
Essa percepção distorcida me parece poder ser útil para explicar, pelo menos em parte, as motivações por trás do comportamento exibido por jogadores compulsivos.
Assim eu faria uma nova proposição:
Proposição 3. Enquanto não se sabe o valor de ambos os envelopes o valor da diferença entre perder e ganhar é a maior do que o valor que efetivamente se pode ganhar e o valor que se pode perder, por ser a soma de ambos os valores. Ainda assim, tal percepção influencia a decisão de continuar.
A prova para a minha proposição é a seguinte: Na primeira rodada do problema você joga com uma chance de 1/2 para ganhar n ou n/2, sendo que n será um número desconhecido. Na segunda rodada do problema, você joga com uma chance de 1/2 para ganhar 2n ou perder n/2, sendo que agora n é um número conhecido. Na primeira rodada você possui 0 (nada), e logo só poderá ganhar. Na segunda rodada você poderá tanto ganhar o dobro quanto perder metade daquilo que passou a possuir, com uma diferença virtual de 2(2n/3), ou R$ 150,00 caso você esteja segurando um envelope com R$ 100,00.
Essa percepção distorcida me parece poder ser útil para explicar, pelo menos em parte, as motivações por trás do comportamento exibido por jogadores compulsivos.
Fonte consultada:
KIEKEBEN, Franz. Envelope Paradox. Disponível em:
http://members.aol.com/kiekeben/envelope.html
Acesso em: 10 de abril de 2008.
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