0,999~ = 1

Será que o número 0,999~ (zero seguido de infinitos noves depois da vírgula) é realmente diferente do número 1 (um)? Para muitos de nós isso parece ser verdadeiro, afinal ambos valores são representados de forma diferente. Um é representado por 0,999~ (ou 0,999...) e outro é representado por 1. Mas então o que é o um, e o que é o 0,999~?
No sistema dos números reais, o número 1 é, na verdade, a representação da soma dos valores de 0,9 + 0,09 + 0,009... ad infinitum; então, o que é o 0,999~ senão a mesma representação?
Podemos citar algumas provas informais para demonstrar que 0,999~ é igual a 1:

Se 1/3 + 2/3 = 1
e
Se 1/3 = 0,333~ e 2/3 = 0,666~
e
Se 0,333~ + 0,666~ = 0,999~
então
0,999~ = 1

Se 0,111~ = 1/9
e
Se 9 x 0,111~ = 0,999~
e
Se 9 x (1/9) = 1
então
9 x 0,111~ = 9 x (1/9) = 1

Assim, todos os números reais são, na verdade, somas das infinitas frações de valores que existem entre eles.
Esta noção se relaciona diretamente ao paradoxo de Zeno, o paradoxo do Hotel de Hilbert, a teoria dos Fractais e a abstração que são os números.

Para saber mais:
sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?
An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?
Discussão: O dia que não acaba nunca.