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The blank post paradox.. HushEhshSheh
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sexta-feira, 18 de setembro de 2009
sábado, 16 de maio de 2009
Paradoxo de Abilene
Em uma tarde quente em João Pessoa, PB, uma família está jogando dominó confortavelmente em uma varanda, até que o sogro sugere um passeio e uma janta em Recife, PE, à 125 km de distância. Sua filha, a esposa, diz pensar ser uma boa idéia. O marido, apesar de ter objeções por ter de guiar o carro por tal distância no calor, pensa que suas preferências não devem se opor ao que o grupo deseja e diz: “Concordo, espero que a tua mãe [a sogra] concorde também.” A sogra então responde: “É claro que eu quero ir. Faz algum tempo que quero ir à Recife.”
A viagem é quente, empoeirada e longa. Quando eles chegam ao restaurante a comida que encontram é tão ruim quanto foi a viagem. Eles voltam pra João Pessoa quatro horas depois, chateados e cansados.
O sogro fala, de forma desonesta: “Que bela tarde nós tivemos né?” Ao que a sogra responde, com sinceridade, que preferia ter ficado em casa mas que aceitara ir pois os outros três pareciam muito entusiasmados. O marido então fala: “Não foi nada bom ter feito essa viagem, eu só fui para satisfazer vocês.” A esposa responde: “Eu só foi para deixar vocês felizes, eu precisaria estar louca para querer sair naquele calor.” Então o sogro responde que só sugeriu a viagem pois pensou que os demais estavam entediados.
O grupo senta-se, perplexo por terem decidido fazer uma viagem que nenhum deles queria ter feito. Cada um deles preferiria ter ficado confortavelmente em casa, mas nenhum deles havia admitido isso.
Esta é uma adaptação do Paradoxo de Abilene, na qual a cidade de Coleman, TX foi substituída por João Pessoa, PB, e a cidade de Abilene, TX, foi substituída por Recife, PE. A psicologia social explica este fenômeno de pensamento grupal pelas teorias de conformidade e cognição social.
As representações cognitivas de objetos sociais são chamadas de esquemas, estruturas mentais que representam algum aspecto do mundo. Tais esquemas são organizados na memória na forma de uma rede de associações que, por sua vez, organizam-se com outras redes de associações. Quando um esquema particular é ativado, os esquemas relacionados também são ativados e determinam o comportamento do indivíduo.
sábado, 24 de maio de 2008
Fenômeno da média aritmética
Para um exercício de estatística, uma professora pediu que seus alunos dissessem suas alturas em centímetros. Enquanto os alunos iam dizendo suas alturas, a professora ia anotando os valores no quadro em duas listas, compostas pelo nome e pela altura de cada aluno:
| Grupo A | Grupo B |
| Carlinha 144 Paulinha 135 Bruninha 137 Marquinhos 124 Samuelzinho 140 Joãozinho 128 Mariazinha 122 Rutinha 139 Ulissezinho 142 Tomazinho 138 Antoninho 147 Gabizinha 131 Fernandinho 145 | Marlizinha 134 Carlinhos 146 Juninho 129 Camilinha 126 Ériquinha 130 Luluzinha 132 Robertinho 133 Sarinha 127 Luizinho 136 Dalvinha 125 Ritinha 141 Huguinho 143 Zézinho 123 |
"Qual grupo é o mais alto?" perguntou a professora.
Os alunos imediatamente começaram a calcular a altura média de cada um dos grupos, determinando que o Grupo A era mais alto que o Grupo B por 3,6 centímetros (136,3 contra 132,7).
A professora sorriu e, com o giz e o apagador, trocou o nome de um dos alunos de um grupo para o outro.
"Façam o cálculo novamente." disse a professora, "Vocês irão ver que tanto a altura média do Grupo A quanto do Grupo B foi aumentada."
Agora a pergunta que realmente interessa: qual foi o nome do aluno ou da aluna que a professora trocou de grupo para que a média de ambos os grupos fosse aumentada?
Os alunos imediatamente começaram a calcular a altura média de cada um dos grupos, determinando que o Grupo A era mais alto que o Grupo B por 3,6 centímetros (136,3 contra 132,7).
A professora sorriu e, com o giz e o apagador, trocou o nome de um dos alunos de um grupo para o outro.
"Façam o cálculo novamente." disse a professora, "Vocês irão ver que tanto a altura média do Grupo A quanto do Grupo B foi aumentada."
Agora a pergunta que realmente interessa: qual foi o nome do aluno ou da aluna que a professora trocou de grupo para que a média de ambos os grupos fosse aumentada?
Como é possível que, estatisticamente, a transposição do membro de um grupo para o outro faça com que a média aritmética de ambos os grupos seja aumentada? Isso ocorre quando o elemento a ser movido está abaixo da média do restante do grupo de origem e acima da média do grupo de destino.
Desta maneira fica claro que a média aritmética deve ser interpretada com cuidado quando for ser apresentada em uma pesquisa científica. Um exemplo clássico de como a média aritmética pode ser mal interpretada é quando esta é usada para expressar os ganhos médios da população da cidade de Medina, em Washington: alguém que visse tal média e a interpretasse como sendo aquilo que a maioria das pessoas que lá residem ganham por mês, iria se surpreender com o número extremamente alto, sendo que na verdade a distorção é provocada por um único habitante que se chama Bill Gates.
Desta maneira fica claro que a média aritmética deve ser interpretada com cuidado quando for ser apresentada em uma pesquisa científica. Um exemplo clássico de como a média aritmética pode ser mal interpretada é quando esta é usada para expressar os ganhos médios da população da cidade de Medina, em Washington: alguém que visse tal média e a interpretasse como sendo aquilo que a maioria das pessoas que lá residem ganham por mês, iria se surpreender com o número extremamente alto, sendo que na verdade a distorção é provocada por um único habitante que se chama Bill Gates.
Fontes:
Yaw of Averages by Paul Niquette
Will Rogers phenomenon, Wikipedia
0,999~ = 1
Será que o número 0,999~ (zero seguido de infinitos noves depois da vírgula) é realmente diferente do número 1 (um)? Para muitos de nós isso parece ser verdadeiro, afinal ambos valores são representados de forma diferente. Um é representado por 0,999~ (ou 0,999...) e outro é representado por 1. Mas então o que é o um, e o que é o 0,999~?
No sistema dos números reais, o número 1 é, na verdade, a representação da soma dos valores de 0,9 + 0,09 + 0,009... ad infinitum; então, o que é o 0,999~ senão a mesma representação?
Podemos citar algumas provas informais para demonstrar que 0,999~ é igual a 1:
Esta noção se relaciona diretamente ao paradoxo de Zeno, o paradoxo do Hotel de Hilbert, a teoria dos Fractais e a abstração que são os números.
Para saber mais:
sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?
An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?
Discussão: O dia que não acaba nunca.
No sistema dos números reais, o número 1 é, na verdade, a representação da soma dos valores de 0,9 + 0,09 + 0,009... ad infinitum; então, o que é o 0,999~ senão a mesma representação?
Podemos citar algumas provas informais para demonstrar que 0,999~ é igual a 1:
Se 1/3 + 2/3 = 1Assim, todos os números reais são, na verdade, somas das infinitas frações de valores que existem entre eles.
e
Se 1/3 = 0,333~ e 2/3 = 0,666~
e
Se 0,333~ + 0,666~ = 0,999~
então
0,999~ = 1
Se 0,111~ = 1/9
e
Se 9 x 0,111~ = 0,999~
e
Se 9 x (1/9) = 1
então
9 x 0,111~ = 9 x (1/9) = 1
Esta noção se relaciona diretamente ao paradoxo de Zeno, o paradoxo do Hotel de Hilbert, a teoria dos Fractais e a abstração que são os números.
Para saber mais:
sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?
An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?
Discussão: O dia que não acaba nunca.
quinta-feira, 22 de maio de 2008
O Estranho diário de Tristram Shady
No romance "The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman" de Laurence Sterne, escrita em 1759, o personagem Tristram Shandy se dedica a escrever sua autobiografia de maneira tão detalhada que para cada dia, sobre o qual fossem relatados os eventos em seu diário, era necessário cerca de um ano para elaborar e escrever a entrada. Sendo Tristram Shandy mortal, ele jamais seria capaz de terminar sua tarefa. Fugindo um pouco da história original de Sterne, podemos imaginar que Tristram tenha dado início ao seu diário escrevendo sobre o dia em que resolveu começar a escrever o seu diário; desta maneira, ao terminar de escrever sobre o dia em questão teria se passado um ano, fazendo com que a distância entre os eventos relatados no diário e os eventos atuais da vida de Tristram se tornasse cada vez maior. Contudo, se Tristram fosse imortal e vivesse para sempre, nenhuma parte do seu diário permaneceria sem ser escrita, pois para cada dia de sua vida um ano correspondente seria devotado à descrição daquele dia - infinitos anos para descrever infinitos dias, tal é a estranheza de se contemplar o conceito de infinitude enquanto somos seres finitos.
De início, ao imaginar tal coisa, pensei em Tristram escrevendo incessantemente, para descrever dias que remontavam às suas lembranças mais antigas, e o que ocorreria, imaginando um Tristram imortal, quando ele chegasse ao ponto em que começou a escrever o diário. Não bastaria uma descrição do tipo: "Neste dia eu comecei a escrever este diário", pois isso não lhe tomaria um ano inteiro. Também não faria muito sentido ele descrever a maneira como desenhou cada letra em seu diário, pois isso provavelmente aumentaria o tempo necessário para a descrição de cada dia. Com isso, comecei a me questionar como seria possível ocupar tanto tempo descrevendo um único dia. Imaginei, então, que Tristram descrevia detalhadamente cada uma de suas experiências, incluindo quais foram suas impressões iniciais e posteriores sobre cada uma destas experiências e, também, o que se passava por sua mente a cada momento. Imaginei, também, que Tristram considerava todas as possibilidades que ele era capaz de divisar e enumerar a cada momento de sua vida, e como fazia o processo de decisão, o que o levava a escolher por esta ou aquela alternativa; quais seriam as alternativas que foram sendo descartadas a cada momento e por quê.
Tendo isso em mente, pensei novamente sobre o que aconteceria quando ele chegasse ao ponto, ao dia, em que começou a escrever o seu diário. Neste caso ele iria falar, também, sobre as impressões que teve, sobre as experiências já descritas, e quais sentimentos estas memórias lhe trouxeram. Dada a similaridade e óbvia familiaridade da situação, Tristram experienciaria uma espécie de laço, ou um circuito de 360º em sua experiência, uma quasi-metacognição sobre seu passado, ao descrever seu passado remoto, sendo descrito no presente, e o que isto lhe trás... O mesmo laço voltaria a acontecer quando ele, aeons depois, viesse a descrever o dia em que descreveu o dia em que começou a escrever seu diário, tornando, em si, de fato, uma extensão da análise de cada dia, do momento em que o primeiro laço ocorresse: se, de início, Tristram levava um ano para descrever cada dia, ao chegar ao dia em que começou a descrever cada dia, ele levaria 365 anos descrevendo o ano que passou descrevendo um único dia.
A dilatação, se assim devemos chamar, se tornaria maior a cada laço: Tristram descrevendo a si mesmo descrevendo a si mesmo o dia em que começou a descrever a si mesmo, que neste caso ele teria de descrever os 133.225 dias que levou para descrever o ano que passou descrevendo um único dia, o que lhe tomaria o mesmo número de anos.
Por outro lado, isso tudo dependeria das regras às quais ele se submetesse para elaborar as descrições e para escrever o seu diário. Tristram poderia, ao invés de ficar escrevendo incessantemente, ocupar apenas uma pequena fração de cada um dos seus dias para a elaboração do diário, ainda sendo prolixo nos detalhes, mas num grau bem menor do que na hipótese anterior.
Para ver a obra original de Laurence Sterne no Google Books: The Life and Opinions of Tristram Shandy, 1857.
Também disponível no Projeto Gutenberg: EText-No. 1079
De início, ao imaginar tal coisa, pensei em Tristram escrevendo incessantemente, para descrever dias que remontavam às suas lembranças mais antigas, e o que ocorreria, imaginando um Tristram imortal, quando ele chegasse ao ponto em que começou a escrever o diário. Não bastaria uma descrição do tipo: "Neste dia eu comecei a escrever este diário", pois isso não lhe tomaria um ano inteiro. Também não faria muito sentido ele descrever a maneira como desenhou cada letra em seu diário, pois isso provavelmente aumentaria o tempo necessário para a descrição de cada dia. Com isso, comecei a me questionar como seria possível ocupar tanto tempo descrevendo um único dia. Imaginei, então, que Tristram descrevia detalhadamente cada uma de suas experiências, incluindo quais foram suas impressões iniciais e posteriores sobre cada uma destas experiências e, também, o que se passava por sua mente a cada momento. Imaginei, também, que Tristram considerava todas as possibilidades que ele era capaz de divisar e enumerar a cada momento de sua vida, e como fazia o processo de decisão, o que o levava a escolher por esta ou aquela alternativa; quais seriam as alternativas que foram sendo descartadas a cada momento e por quê.
Tendo isso em mente, pensei novamente sobre o que aconteceria quando ele chegasse ao ponto, ao dia, em que começou a escrever o seu diário. Neste caso ele iria falar, também, sobre as impressões que teve, sobre as experiências já descritas, e quais sentimentos estas memórias lhe trouxeram. Dada a similaridade e óbvia familiaridade da situação, Tristram experienciaria uma espécie de laço, ou um circuito de 360º em sua experiência, uma quasi-metacognição sobre seu passado, ao descrever seu passado remoto, sendo descrito no presente, e o que isto lhe trás... O mesmo laço voltaria a acontecer quando ele, aeons depois, viesse a descrever o dia em que descreveu o dia em que começou a escrever seu diário, tornando, em si, de fato, uma extensão da análise de cada dia, do momento em que o primeiro laço ocorresse: se, de início, Tristram levava um ano para descrever cada dia, ao chegar ao dia em que começou a descrever cada dia, ele levaria 365 anos descrevendo o ano que passou descrevendo um único dia.
A dilatação, se assim devemos chamar, se tornaria maior a cada laço: Tristram descrevendo a si mesmo descrevendo a si mesmo o dia em que começou a descrever a si mesmo, que neste caso ele teria de descrever os 133.225 dias que levou para descrever o ano que passou descrevendo um único dia, o que lhe tomaria o mesmo número de anos.
Por outro lado, isso tudo dependeria das regras às quais ele se submetesse para elaborar as descrições e para escrever o seu diário. Tristram poderia, ao invés de ficar escrevendo incessantemente, ocupar apenas uma pequena fração de cada um dos seus dias para a elaboração do diário, ainda sendo prolixo nos detalhes, mas num grau bem menor do que na hipótese anterior.
Para ver a obra original de Laurence Sterne no Google Books: The Life and Opinions of Tristram Shandy, 1857.
Também disponível no Projeto Gutenberg: EText-No. 1079
domingo, 18 de maio de 2008
Quando estudantes de Psicologia pensam em números
(03:22:38 PM) Cláudio: informações que você não podia morrer sem saber:
(03:22:59 PM) Cláudio: Um googol supera o número de partículas elementares no universo observável, que tem sido estimado entre 10^79 até 10^81. Um googol também é maior do que o número de tempos de Plank (o tempo que leva para um fóton viajar, a velocidade da luz no vácuo, a distância de 1,6x10^-35 metros, ou cerca de 10^-20, o diâmetro de um próton) desde o Big Bang, que foi estimado em 8x10^60.
(03:26:02 PM) Taimon: isso mudou minha vida OO
(03:26:04 PM) Taimon: ahahahah
(03:26:22 PM) Taimon: mas vai colocando essas coisas, é legal
(03:26:33 PM) Cláudio: Uma vez que um googolplex é igual a um seguido por um googol de zeros, não seria possível de escrever este número em sua notação decimal, mesmo que toda a matéria do universo fosse convertida em papel e tinta.
(03:27:36 PM) Cláudio: De fato, se você tivesse uma quantidade ilimitada de papel e de tinta, você iria precisar de cerca de 10^20 universos para poder escrever um googolplex por extenso.
(03:28:38 PM) Taimon: eu nem queria escrever mesmo
(03:28:43 PM) Taimon: hunf
(03:30:00 PM) Cláudio: Se você fosse imprimir este número usando a fonte de tamanho 1, você precisaria de 3,5x10^96 metros de papel ofício. Seria uma distância 4,7x10^69 vezes maior do que o diâmetro estimado do universo conhecido.
(03:30:14 PM) Cláudio: hehehehehehhehe
(03:30:31 PM) Cláudio: vou dedicar minha vida para escrever um googolplex por extenso (:
(03:31:37 PM) Cláudio: O tempo necessário para escrever este número, levando em conta que a pessoa escrevesse dois dígitos por segundo sem parar, seria de cerca de 1,1x10^82 a idade do universo.
(03:33:17 PM) Cláudio: e pior q existem números na matemática q são bem maiores que um googolplex
(03:33:19 PM) Cláudio: :P
(03:37:55 PM) Taimon: sim, mas não se conectam a nada, pq da pra criar um número maior do q a própria quantidade de matéria, é algo sem sentido
(03:38:12 PM) Cláudio: nopes, se conectam sim
(03:38:15 PM) Cláudio: quer ver?
(03:39:08 PM) Cláudio: "O número de estados em um buraco negro com a massa equivalente à da galáxia de andrômeda é de aproximadamente um googolplex."
[...]
(03:48:48 PM) Taimon: mesmo q fosse possível fazer a soma mais absurda de tudo q é estado ainda assim não seria infinito
(03:49:17 PM) Taimon: mas o número na matemática pra ser maior, bastaria acrescentarmos mais 1, ou mesmo 000000000,1
(03:49:20 PM) Taimon: e já seria maior
(03:49:27 PM) Cláudio: sim.. hehehehe
(03:49:30 PM) Cláudio: isso é engraçado
(03:49:31 PM) Taimon: e não existiria no entanto algo na realidade
[...]
(03:52:20 PM) Cláudio: eu consigo pensar num número...
(03:52:27 PM) Cláudio: tipo... um DDF*
(03:53:01 PM) Cláudio: que é igual a multiplicação de todos os números já escritos e que ainda serão escritos pela humanidade ao longo de toda a sua existência.
(03:53:19 PM) Cláudio: mas neste caso.. será q 1 DDF conteria a si mesmo em si, uma vez q eu acabei de escrever?
(03:55:26 PM) Cláudio: "agora f****"
(03:55:28 PM) Cláudio: heheheheheheh
(03:55:33 PM) Taimon: x.x
(03:22:59 PM) Cláudio: Um googol supera o número de partículas elementares no universo observável, que tem sido estimado entre 10^79 até 10^81. Um googol também é maior do que o número de tempos de Plank (o tempo que leva para um fóton viajar, a velocidade da luz no vácuo, a distância de 1,6x10^-35 metros, ou cerca de 10^-20, o diâmetro de um próton) desde o Big Bang, que foi estimado em 8x10^60.
(03:26:02 PM) Taimon: isso mudou minha vida OO
(03:26:04 PM) Taimon: ahahahah
(03:26:22 PM) Taimon: mas vai colocando essas coisas, é legal
(03:26:33 PM) Cláudio: Uma vez que um googolplex é igual a um seguido por um googol de zeros, não seria possível de escrever este número em sua notação decimal, mesmo que toda a matéria do universo fosse convertida em papel e tinta.
(03:27:36 PM) Cláudio: De fato, se você tivesse uma quantidade ilimitada de papel e de tinta, você iria precisar de cerca de 10^20 universos para poder escrever um googolplex por extenso.
(03:28:38 PM) Taimon: eu nem queria escrever mesmo
(03:28:43 PM) Taimon: hunf
(03:30:00 PM) Cláudio: Se você fosse imprimir este número usando a fonte de tamanho 1, você precisaria de 3,5x10^96 metros de papel ofício. Seria uma distância 4,7x10^69 vezes maior do que o diâmetro estimado do universo conhecido.
(03:30:14 PM) Cláudio: hehehehehehhehe
(03:30:31 PM) Cláudio: vou dedicar minha vida para escrever um googolplex por extenso (:
(03:31:37 PM) Cláudio: O tempo necessário para escrever este número, levando em conta que a pessoa escrevesse dois dígitos por segundo sem parar, seria de cerca de 1,1x10^82 a idade do universo.
(03:33:17 PM) Cláudio: e pior q existem números na matemática q são bem maiores que um googolplex
(03:33:19 PM) Cláudio: :P
(03:37:55 PM) Taimon: sim, mas não se conectam a nada, pq da pra criar um número maior do q a própria quantidade de matéria, é algo sem sentido
(03:38:12 PM) Cláudio: nopes, se conectam sim
(03:38:15 PM) Cláudio: quer ver?
(03:39:08 PM) Cláudio: "O número de estados em um buraco negro com a massa equivalente à da galáxia de andrômeda é de aproximadamente um googolplex."
[...]
(03:48:48 PM) Taimon: mesmo q fosse possível fazer a soma mais absurda de tudo q é estado ainda assim não seria infinito
(03:49:17 PM) Taimon: mas o número na matemática pra ser maior, bastaria acrescentarmos mais 1, ou mesmo 000000000,1
(03:49:20 PM) Taimon: e já seria maior
(03:49:27 PM) Cláudio: sim.. hehehehe
(03:49:30 PM) Cláudio: isso é engraçado
(03:49:31 PM) Taimon: e não existiria no entanto algo na realidade
[...]
(03:52:20 PM) Cláudio: eu consigo pensar num número...
(03:52:27 PM) Cláudio: tipo... um DDF*
(03:53:01 PM) Cláudio: que é igual a multiplicação de todos os números já escritos e que ainda serão escritos pela humanidade ao longo de toda a sua existência.
(03:53:19 PM) Cláudio: mas neste caso.. será q 1 DDF conteria a si mesmo em si, uma vez q eu acabei de escrever?
(03:55:26 PM) Cláudio: "agora f****"
(03:55:28 PM) Cláudio: heheheheheheh
(03:55:33 PM) Taimon: x.x
* DDF = Dimensão da Floresta (:
quinta-feira, 10 de abril de 2008
Godzilla vs. o Hotel Infinito (humor)
Contrário ao que as pessoas possam pensar, um hotel de quartos infinitos não precisa ocupar um espaço infinito. Suponha que o hotel possua apenas um quarto por andar, e que cada quarto possua metade da altura do quarto logo abaixo. O prédio inteiro não será mais alto do que um prédio normal de dois andares. Mas se este for o caso, então o prédio deverá ter uma cobertura em seu topo. E como se trata de uma cobertura, então, como qualquer arquiteto de renome pode apontar, a parte de baixo da cobertura deve ser o teto sobre algum quarto. Contudo, qual quarto será este, uma vez que se trata de um hotel com um número infinito de quartos?
Na proposição original da minha fonte de consulta, o prédio não poderia ter uma cobertura (...given that the hotel has an infinite number of them and therefore no top story?), mas isso se trata de apenas de nonsense na concepção do Tratactus Logico-Philosophicus de Wittgenstein (7). Isso por que, se o prédio possui apenas dois andares de altura, o que me impediria, caso eu fosse o Godzilla, de colocar qualquer estrutura que fosse sobre o prédio e chamar tal estrutura de cobertura? Logo, o que quer que esteja abaixo da cobertura, seria o último quarto, nem que fosse o quarto de número ∞.
Na proposição original da minha fonte de consulta, o prédio não poderia ter uma cobertura (...given that the hotel has an infinite number of them and therefore no top story?), mas isso se trata de apenas de nonsense na concepção do Tratactus Logico-Philosophicus de Wittgenstein (7). Isso por que, se o prédio possui apenas dois andares de altura, o que me impediria, caso eu fosse o Godzilla, de colocar qualquer estrutura que fosse sobre o prédio e chamar tal estrutura de cobertura? Logo, o que quer que esteja abaixo da cobertura, seria o último quarto, nem que fosse o quarto de número ∞.
KIEKEBEN, Franz. Infinty. Disponível em:
http://members.aol.com/kiekeben/infinty.html
Acesso em: 10 de abril de 2008.
O Paradoxo do Envelope
Vamos supor que você está em um programa de televisão e o apresentador te diz para escolher um entre dois envelopes selados. Tanto o envelope A quanto o envelope B contém algum dinheiro, mas o apresentador não te diz quanto dinheiro há em cada um. A única coisa que ele te diz é que um envelope contém o dobro de dinheiro que o outro.
Você escolhe o envelope A, abre o envelope e descobre que dentro dele está R$ 100,00 (cem reais). O apresentador, então, te faz a seguinte oferta: você pode tanto ficar com os R$ 100,00 ou pode escolher trocar de envelope, escolhendo o envelope B.
Desta maneira, você pode fazer o seguinte raciocínio: - Uma vez que um dos envelopes contém o dobro de dinheiro que o outro, o envelope B pode conter tanto R$ 200,00 ou R$ 50,00, com a mesma probabilidade tanto para um quanto para o outro pagamento. Já que eu tenho mais a ganhar (+R$ 100,00) do que a perder (-R$ 50,00), eu devo fazer a troca.
Mas, no exato momento em que você decide comunicar ao apresentador que você deseja trocar de envelope, você é surpreendido por um pensamento perturbador: se você tivesse escolhido o envelope B - quer você tivesse ganho R$ 200,00 ou R$ 50,00 - você teria chegado exatamente a mesma conclusão. Assim sendo, se o argumento anterior é válido, você deve trocar de envelope independentemente da escolha inicial. Mas isso não pode estar certo, pode?
O que há de errado com o seu raciocínio?
Alguns matemáticos afirmam que neste caso o problema está em usar uma medida de probabilidade em um conjunto infinito (de números naturais). Mas os lógicos indicam que o paradoxo pode ser abordado sem o uso da probabilidade. Tal afirmação faz uso de duas proposições contraditórias:
Proposição 1. A quantidade que você irá ganhar, se você ganhar, é maior do que a quantidade que você irá perder, se você perder.
Proposição 2. As somas são iguais.
A prova da Proposição 1 é essencialmente aquela já explicitada no problema: - Que n seja a soma no envelope que você está segurando, então o outro envelope possui 2n ou n/2. Uma vez que n é maior do que n/2, então a soma que você irá ganhar, se você ganhar - que é n - é maior do que a soma que você irá perder, se você perder - que é n/2. Isso prova a Proposição 1.
Quanto a prova da Proposição 2: - Que seja d a diferença entre as somas nos dois envelopes, ou - o que é a mesma coisa, que seja d a soma do envelope de menor valor. Se você ganhar na troca, você irá ganhar d reais, se você perder na troca, você irá perder d reais. Desta forma as somas são idênticas no final. Isto prova a Proposição 2.
Você escolhe o envelope A, abre o envelope e descobre que dentro dele está R$ 100,00 (cem reais). O apresentador, então, te faz a seguinte oferta: você pode tanto ficar com os R$ 100,00 ou pode escolher trocar de envelope, escolhendo o envelope B.
Desta maneira, você pode fazer o seguinte raciocínio: - Uma vez que um dos envelopes contém o dobro de dinheiro que o outro, o envelope B pode conter tanto R$ 200,00 ou R$ 50,00, com a mesma probabilidade tanto para um quanto para o outro pagamento. Já que eu tenho mais a ganhar (+R$ 100,00) do que a perder (-R$ 50,00), eu devo fazer a troca.
Mas, no exato momento em que você decide comunicar ao apresentador que você deseja trocar de envelope, você é surpreendido por um pensamento perturbador: se você tivesse escolhido o envelope B - quer você tivesse ganho R$ 200,00 ou R$ 50,00 - você teria chegado exatamente a mesma conclusão. Assim sendo, se o argumento anterior é válido, você deve trocar de envelope independentemente da escolha inicial. Mas isso não pode estar certo, pode?
O que há de errado com o seu raciocínio?
Alguns matemáticos afirmam que neste caso o problema está em usar uma medida de probabilidade em um conjunto infinito (de números naturais). Mas os lógicos indicam que o paradoxo pode ser abordado sem o uso da probabilidade. Tal afirmação faz uso de duas proposições contraditórias:
Proposição 1. A quantidade que você irá ganhar, se você ganhar, é maior do que a quantidade que você irá perder, se você perder.
Proposição 2. As somas são iguais.
A prova da Proposição 1 é essencialmente aquela já explicitada no problema: - Que n seja a soma no envelope que você está segurando, então o outro envelope possui 2n ou n/2. Uma vez que n é maior do que n/2, então a soma que você irá ganhar, se você ganhar - que é n - é maior do que a soma que você irá perder, se você perder - que é n/2. Isso prova a Proposição 1.
Quanto a prova da Proposição 2: - Que seja d a diferença entre as somas nos dois envelopes, ou - o que é a mesma coisa, que seja d a soma do envelope de menor valor. Se você ganhar na troca, você irá ganhar d reais, se você perder na troca, você irá perder d reais. Desta forma as somas são idênticas no final. Isto prova a Proposição 2.
Porém eu vejo um problema com a Proposição 2 que, embora logicamente correta, não leva em conta o que é percebido pelo jogador no momento da segunda rodada.
Assim eu faria uma nova proposição:
Proposição 3. Enquanto não se sabe o valor de ambos os envelopes o valor da diferença entre perder e ganhar é a maior do que o valor que efetivamente se pode ganhar e o valor que se pode perder, por ser a soma de ambos os valores. Ainda assim, tal percepção influencia a decisão de continuar.
A prova para a minha proposição é a seguinte: Na primeira rodada do problema você joga com uma chance de 1/2 para ganhar n ou n/2, sendo que n será um número desconhecido. Na segunda rodada do problema, você joga com uma chance de 1/2 para ganhar 2n ou perder n/2, sendo que agora n é um número conhecido. Na primeira rodada você possui 0 (nada), e logo só poderá ganhar. Na segunda rodada você poderá tanto ganhar o dobro quanto perder metade daquilo que passou a possuir, com uma diferença virtual de 2(2n/3), ou R$ 150,00 caso você esteja segurando um envelope com R$ 100,00.
Essa percepção distorcida me parece poder ser útil para explicar, pelo menos em parte, as motivações por trás do comportamento exibido por jogadores compulsivos.
Assim eu faria uma nova proposição:
Proposição 3. Enquanto não se sabe o valor de ambos os envelopes o valor da diferença entre perder e ganhar é a maior do que o valor que efetivamente se pode ganhar e o valor que se pode perder, por ser a soma de ambos os valores. Ainda assim, tal percepção influencia a decisão de continuar.
A prova para a minha proposição é a seguinte: Na primeira rodada do problema você joga com uma chance de 1/2 para ganhar n ou n/2, sendo que n será um número desconhecido. Na segunda rodada do problema, você joga com uma chance de 1/2 para ganhar 2n ou perder n/2, sendo que agora n é um número conhecido. Na primeira rodada você possui 0 (nada), e logo só poderá ganhar. Na segunda rodada você poderá tanto ganhar o dobro quanto perder metade daquilo que passou a possuir, com uma diferença virtual de 2(2n/3), ou R$ 150,00 caso você esteja segurando um envelope com R$ 100,00.
Essa percepção distorcida me parece poder ser útil para explicar, pelo menos em parte, as motivações por trás do comportamento exibido por jogadores compulsivos.
Fonte consultada:
KIEKEBEN, Franz. Envelope Paradox. Disponível em:
http://members.aol.com/kiekeben/envelope.html
Acesso em: 10 de abril de 2008.
sábado, 15 de dezembro de 2007
Paradoxo do Barbeiro
Clique na imagem para ampliar Existe uma cidade onde há apenas um barbeiro. Nesta cidade todos os homens são obrigados a se manter barbeados; alguns fazem a própria barba, outros vão ao barbeiro. O barbeiro deve obedecer a seguinte regra: ele irá barbear todos e tão somente aqueles que não fizerem a própria barba. Quem barbeia o barbeiro?
O Universo te ama. (:
Pode o conjunto de todos aqueles conjuntos que não contém a si mesmos conter a si mesmo?
sexta-feira, 14 de dezembro de 2007
Quine e Grielling-Nelson
"Torna-se heterológico quando precedido pela própria citação" torna-se heterológico quando precedido pela própria citação. Uma reflexão sobre os paradoxos de Quine e de Grelling-Nelson. Faríamos sentido tendo nossos significados citados por outrem? Daí a importância de se dar a conhecer e de conhecer antes de chegar a conclusões.quinta-feira, 13 de dezembro de 2007
Paradoxos lingüísticos
Uma palavra de introdução
Paradoxo do mentiroso e suas variações
Paradoxo de Negação
Paradoxo de Petrônio
Paradoxo de Manson
Muitas pessoas me perguntam o que me leva a ter tanto interesse nos paradoxos, em todo tipo de paradoxo. Bom, eu sou um estudante de psicologia, e acredito que muitas vezes as pessoas estão vivendo mal suas vidas por terem convencido a si mesmas que uma argumentação inválida é verdadeira. Pode ser alguém que nunca admite estar errado, pois pensa que estar errado é uma demonstração de fraqueza, ou alguém que acredita que não pode sair de uma determinada situação, embora não exista nenhum impedimento real para que a pessoa saia de tal situação, só para citar dois exemplos.
Se eu não for capaz de identificar essas contradições, eu não serei capaz de fazer nada pela pessoa. Mas muito mais do que simplesmente achar o problema, é interessante conseguir compreender o que levou a pessoa a ficar presa naquele problema. E é no discurso da pessoa que muitas vezes irão aparecer as ferramentas que construiram tal prisão.
Os paradoxos ilustram essas ferramentas, de forma que estudando os paradoxos, somos capazes de identificar neles argumentos que já ouvimos em diálogos do nosso dia a dia. Compreendendo o funcionamento de um paradoxo de trás para frente, somos capazes de fazer uma engenharia reversa na argumentação daquele que nos dirige a palavra e, por meio da palavra, levar esta pessoa a ela, também, identificar as falhas no seu argumento. Seus paradoxos pessoais.
Se eu não for capaz de identificar essas contradições, eu não serei capaz de fazer nada pela pessoa. Mas muito mais do que simplesmente achar o problema, é interessante conseguir compreender o que levou a pessoa a ficar presa naquele problema. E é no discurso da pessoa que muitas vezes irão aparecer as ferramentas que construiram tal prisão.
Os paradoxos ilustram essas ferramentas, de forma que estudando os paradoxos, somos capazes de identificar neles argumentos que já ouvimos em diálogos do nosso dia a dia. Compreendendo o funcionamento de um paradoxo de trás para frente, somos capazes de fazer uma engenharia reversa na argumentação daquele que nos dirige a palavra e, por meio da palavra, levar esta pessoa a ela, também, identificar as falhas no seu argumento. Seus paradoxos pessoais.
Paradoxo do mentiroso e suas variações
"Esta afirmação é falsa."Paradoxo de Quine (adaptado)
"A próxima sentença é falsa. A sentença anterior é verdadeira."
"Os cretenses estão sempre mentindo." Epimenides, filósofo cretense.
"Um homem diz estar mentindo. O que ele diz é verdadeiro ou falso?"
"Eu sempre minto."
"Você está mentindo quando responde a esta questão? - Sim."
"Existem três errus nesta sentensa." - Extrapolação do paradoxo, como no livro The Mind's I de Hofstadter e Dennet.
"'Torna-se falso quando precedito por sua citação' torna-se falso quando precedido por sua citação."
Variante: "(Não) leia o que está entre parênteses."Paradoxo de Grelling e Nelson
"A palavra longo é longa?"
"Seria heterológica a palavra heterológica?" - Um adjetivo é autológico, ou homológico, se - e apenas se - ele descrever a si mesmo. Por exemplo, a palavra curta é autológica; e um adjetivo é heterológico se - e apenas se - ele não descrever a si mesmo. As palavras longa e monossilábica são exemplos disso.
"Seria não a resposta para esta pergunta?"Paradoxo de Curry
"Se esta sentença for verdadeira, então o Papai Noel existe."Paradoxo de Berry (adaptado)
"O menor integral positivo indefinível em menos que onze palavras."Paradoxo da Madre Teresa (adaptado)
"Ame até doer, então não haverá mais dor, apenas mais amor."Paradoxo do Corvo
Paradoxo da Exceção"Observar maçãs verdes aumenta a probabilidade de todos os corvos serem pretos."
Explicação de Hempel:
(1) Todos os corvos são pretos.
Em termos estritamente lógicos, por meio da Lei de Implicação, isto equivale a dizer que:
(2) Tudo aquilo que não é preto, não é um corvo.
Deve ficar claro que, em todas as circunstâncias em que (2) é verdadeiro, (1) também o é; assim sendo, em todas as circunstâncias que (2) for falso, (1) também será falso. Assim estabelecemos a equivalência lógica.
Dada a afirmação de que todos os corvos são pretos, nós poderemos considerar a forma da afirmação que se refere a uma instância observável específica do objeto como uma evidência para a afirmação em si (empirismo). Exemplo disso seria:
(3) Nunca-mais, meu corvo de estimação, é preto.
É uma evidência que claramente suporta a hipótese de que todos os corvos são pretos (observar um corvo preto aumenta a possibilidade de que todos os corvos sejam pretos).
O paradoxo surge quando o mesmo processo é aplicado a afirmação (2). Ao observarmos uma maçã verde, podemos afirmar que (4) Esta coisa verde (logo, que não é preta) é uma maçã (e, portanto, não é um corvo).
Sendo (2) logicamente equivalente a (1), então é correto afirmar que avistar uma maçã verde é uma evidência de que todos os corvos são pretos.
O absurdo aqui está no simples fato de que maçãs não estão relacionadas diretamente com corvos, se a argumentação fosse válida, uma pessoa poderia afirmar que todos os corvos são pretos, sem nunca ter visto um corvo, simplesmente por ter visto uma maçã verde.
Como já me dizia meu avô, um grande filósofo luso-brasileiro, "nem tudo o que reluz é ouro."
"Toda regra possui uma exceção."Paradoxo da Página Branca
"Para toda regra há uma exceção."
"Se para toda regra há uma exceção, então para toda regra deve haver pelo menos uma exceção, menos para esta regra."
Muitos documentos e livros possuem uma página em branco onde está escrito "esta página foi intencionalmente deixada em branco." Se há algo escrito, a página não está mais em branco. Vale aqui a observação de que, mais do que um paradoxo lingüístico, a causa deste paradoxo são as convenções estabelecidas.
"Moderação em todas as coisas, inclusive na moderação."Paradoxo do Controle (ou da Liberdade)
"O homem jamais poderá ser completamente livre, pois ser completamente livre é ter controle sobre si mesmo." - Seria, neste caso, um louco descontrolado deixado em paz, uma criatura além do paradoxo? (:
"Nenhum sentido faz sentido."Paradoxo de Moore
"Está chovendo lá fora, mas eu não acredito que está chovendo."Paradoxo do Nihilismo
"A verdade não existe." Se a verdade não existe, então a afirmação anterior é verdadeira. Logo a verdade existe na forma da própria afirmação que a nega.Mera Adição (um dos meus preferidos)
É claro... "A verdade está lá fora." (:
Também caracteriza o Peritrope de Sócrates; por exemplo: responder a afirmação de que "a verdade não existe", usa-se uma pergunta como "bem, não seria isto uma verdade?"
"Seria uma grande população pouco tolerável vivendo melhor do que uma pequena população feliz?"
Digo, preferido, nem tanto pelo paradoxo originalmente proposto, mas pela perfeita construção de incerteza contraditória que ela propõe e os lugares aonde leva o processo do pensamento.
domingo, 25 de novembro de 2007
Da natureza da verdade
Se a verdade não existe, então a afirmação de que "a verdade não existe" é verdadeira. A frase anterior é falsa.
O paradoxo de Richard Feynman
A seguinte afirmação é atribuída a Richard Feynman: "If you can't explain it to a six year old, you don't really understand it." Então, ao receber o Prêmio Nobel, ele fez a seguinte declaração para a revista People: "If I could explain it to the average person, it wouldn't have been worth the Nobel Prize." (22 de julho de 1985)
sábado, 20 de outubro de 2007
Meu momento presente e o burro do Skinner
O meu momento presente em Andrômeda é diferente do de vocês
O Burro do Skinner
Um carro em movimento passa por uma pessoa parada em uma rua. À distância da galáxia de Andrômeda, no mesmo instante em que o carro passa pela pessoa parada, duas coisas em tempos diferentes estarão acontecendo simultaneamente. Para a pessoa que está em pé, parada, um general alienígena poderia estar decidindo se invade ou não a Terra; para a pessoa no carro, em movimento, uma frota alienígena já estará a caminho para a invasão.
A explicação: isso acontece se a relatividade especial for real, então cada observador terá um "plano de simultâneidade" que contém um conjunto de eventos único que constitui o momento presente do observador. Observadores movendo-se em velocidades diferentes terão planos de simultaneidade diferentes e diferentes conjuntos de eventos para o momento presente.
Para maiores explicações, só recorrendo à teoria da relatividade em si, mas eu não vou tão longe, para mim basta saber que: o meu momento presente em Andrômeda é diferente do de vocês. hehehehe (:
A explicação: isso acontece se a relatividade especial for real, então cada observador terá um "plano de simultâneidade" que contém um conjunto de eventos único que constitui o momento presente do observador. Observadores movendo-se em velocidades diferentes terão planos de simultaneidade diferentes e diferentes conjuntos de eventos para o momento presente.
Para maiores explicações, só recorrendo à teoria da relatividade em si, mas eu não vou tão longe, para mim basta saber que: o meu momento presente em Andrômeda é diferente do de vocês. hehehehe (:
O Burro do Skinner
O burro do Skinner estava no celeiro e começou a sentir fome e sede. De um lado havia água, do outro, na mesma distância, havia alimento. O burro do Skinner, por não ser capaz de fazer nenhuma decisão racional, morreu de fome e sede...
Enquanto isso, Skinner sentou-se sozinho, em sua fazenda, para o café da manhã. Ao sentar-se, notou que havia posto os ovos mexidos com bacon de um lado, e o copo de leite do outro lado, exatamente na mesma distância. Por ser um behaviorista radical, Skinner não acredita no livre arbítrio e sente um forte bloqueio para decidir se deve matar a fome ou a sede primeiro. Skinner morreu de fome e sede.
Moral da história: se o homem é movido por estímulos e conseqüências, caso se encontrasse em uma situação de equilíbrio entre estímulos relativos à conseqüências de igual peso, seria incapaz de tomar uma decisão qualquer baseada na racionalidade.
Enquanto isso, Skinner sentou-se sozinho, em sua fazenda, para o café da manhã. Ao sentar-se, notou que havia posto os ovos mexidos com bacon de um lado, e o copo de leite do outro lado, exatamente na mesma distância. Por ser um behaviorista radical, Skinner não acredita no livre arbítrio e sente um forte bloqueio para decidir se deve matar a fome ou a sede primeiro. Skinner morreu de fome e sede.
Moral da história: se o homem é movido por estímulos e conseqüências, caso se encontrasse em uma situação de equilíbrio entre estímulos relativos à conseqüências de igual peso, seria incapaz de tomar uma decisão qualquer baseada na racionalidade.
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